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新课程高中数学中的MM策略

来源:51南昌家教网    点击:3116    发布日期:2011-12-28 09:07:42
  数学模型策略 (mathmaticat modelling method),简称为MM策略,不仅是处理数学理论问题的一种典型方法,还是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法,在产业结构调整、广告、促销、物理电子、生物等领域中都可见到。
  模型策略就是把一个现实原型引向我们熟悉的模型,原有的熟悉模型经过推广,从而来解决一类具有一定公共特点的问题。解决了一个新问题就扩大了我们的解题能力。这种思维模式与新课程中的算法思想有着深刻的内在联系。此策略过程一般可分为抽象、推理、类比、发散、创新五个阶段。在中学数学中如何运用MM策略呢?
  其基本步骤如下:
  1.由实际问题抽象到数学模型。
  2.从数学模型中进行逻辑推理、论证、演算等求得数学模型的结论。
  3.对此数学模型进行一定的抽象、推广,使其适用于一类问题。
  4.把数学模型得到的结论对应地翻译到现实原型,得到现实问题的解答。
  在数学解题中,最常见的有函数模型、几何模型、方程模型、复数模型、数列模型等。对于不同的问题,采用相应的模型,往往会有较好的效果。下面列举几个比较有效的模型,一窥模型化策略在数学解题中的功效。
  一、以形助数类模型化策略
  此类问题结合“以数辅形”即为平时教学中提及较多的“数形结合”问题。
  例1:(2006浙江高考,12)对a,b∈R,记max{a,b}=a,a≥bb,a<b,函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是( )。
  解析:令y=|x+1|,y=|x-2|,在同一坐标系中分别作出其图像,如下图所示,根据题意知函数f(x)的图像为图中的射线PA、PB构成,由y=-x+2y=x+1解得y=,即为函数的最小值。
  此策略还包括常见的“两点间距离模型”、“直线的斜率模型”、求最值的“线性规划模型”及“方程的解转化为函数图像交点类模型化策略”等,体现了“形中有数,数中有形”。
  二、向量变式类模型化策略
  向量沟通了代数与几何的内在联系,也给我们提供了研究数学问题的新思路。
  例2:求函数y=3+4的最大值。
  解析:本题可以通过导数的办法来求得函数的最值,但计算较为麻烦。
  如果熟悉向量的模型,就可以比较快速地解决本问题。令=(a,b),=(c,d),由于·≤||||,∴ac+bd≤,由此得到解法:y=3+4≤=10,当且仅当=即x=时等号成立。
  对某些含有乘方或平方和等代数问题,均可构建向量内积和向量模的模型来解决,这样可以优化思维品质,培养创新思维能力,寻找到好的解题思路。在高中数学人教社(B版)中,向量类模型的触角更是伸向了立体几何,所能解决的问题包含了其中的距离、角度的各类问题。同时也为1B中的不等式等的处理提供了新途径。
  三、二项式定理构造不等式类模型化策略
  二项式定理本身包含的对称性与有序性为不等式、倒序、放缩等提供了可能。
  例3:(2007年四川卷、理22)设函数f(x)=1+(n∈N,且n>1,x∈N)。
  (Ⅲ)是否存在a∈N,使得an<1+<(a+1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由。
  证明:对m∈N,且m>1,有1+=C+C+C+…+C+…+C
  =1+1++…++…+
  =2+1-+…+1-1-…1-+…+1-…1-
  <2+++…++…+
  <2+++…++…+
  =2+1-+-+…+-+…+-=3-<3
  又因C>0(k=2,3,4,…,m),故2<1+<3,从而有2n<1+<3n成立,即存在a=2,使得2n<1+<3n(n∈N且n>1)恒成立。
  二项式定理(a+b)=Cab+Cab+…+Cab+…+Cab,是证明高次不等式的有效途径,通过二项式定理模型的构建可以使复杂、繁琐的不等式证明变得简洁、巧妙。
  四、立体几何类的模型化策略
  当问题没有给出具体的图形,只是给出了相关点、线、面的关系(如平行、垂直等),要判断某些元素的位置关系时,通常可考虑构造正方体模型、长方体模型、球或正多面体等。把这些线、面变成几何体中的相关元素,进而加以解决。
  例4:过球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC,且PA=,PB=,PC=,求球O的半径。
  分析:构造长方体。以P为顶点的三条棱PA、PB、PC两两垂直,球O就是这个长方体的外接球,对角线PD就是球O的直径,设半径等于R,则有2R==,R=。
  在立体几何中,类似地还可以构造“墙角”模型策略、“三节棍”模型策略等。构造模型法解立体几何问题,不但能提升学生的思维起点,培养学生的空间想象能力,还能让学生发现数学美,体验数学美,提高学生学习数学的兴趣。
  五、解析几何类模型策略
  在解析几何中,包含几类特殊的知识点,如“第一定义”、“第二定义”、各类距离及参数方程等。从而,某些问题也通过构造符合上述性质的特殊形式来解决。
  例5:在三角形ABC中,已知a=10,c=8+b,求证:tancot=。
  证明:以线段BC的中点为坐标原点,线段BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点A(x,y)在双曲线-=1的右支上。由双曲线的焦半径公式得到|AB|=x+4,|AC|=x-4,所以tancot=·=·
  =·===
  当三角函数、方程、不等式问题中的条件或结论与圆锥曲线的第一定义、第二定义或二次曲线方程的参数形式有关的时候,我们可构造圆锥曲线模型解题,使解题方法得到优化。
  数学学习是一个由“具体问题”抽象到“模型化问题”,从而指导解决另外的“具体问题”的过程。在高中数学的解题中,除了上述涉及的模型外,还包括“恒成立问题转化为最值”的模型化策略、“求函数最值的导数处理类”模型化策略、“判别式”模型化策略、“极端思维模型化”策略、“特殊值类模型化”策略等。在数学教学中,模型化转化得成功与否,对能否顺利解题起着至关重要的作用。只有对数学多种知识模型化策略有深层次的领悟,才能促进学生对数学思想方法有更深刻的理解,才能促进学生灵活应用数学知识,解决相应问题,促进学生应用数学能力的发展。





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